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引言

在第一部分中，我们介绍了相控阵的基本概念、波束指向和阵列增益。在第二部分中，我们提出了栅瓣和波束偏频的概念。在本节中，我们将从天线旁瓣及在阵列中施加加权（Tapering）的影响开始讨论。加权本质上是对各个阵元在整体天线响应中所占振幅贡献的调节。

在第一部分中，并未应用加权，因此图中可以看到第一旁瓣为 –13 dBc。加权提供了一种在以一定代价牺牲增益与主瓣宽度的前提下，降低天线旁瓣的方法。在引入加权的基本概念之后，我们还将进一步说明一些与天线增益相关的要点。

傅里叶变换：矩形 ↔ Sinc 函数

在电气工程中，矩形函数在一个域内变换为另一个域中的 sinc 函数是一个经常出现的现象。最常见的情形是：时间域中的矩形脉冲在频域中会产生一个 sinc 形状的频谱。

这种变换也可以反过来使用，例如宽带应用中将宽带波形变换为时间域中的窄脉冲。相控阵天线也具有类似特性：在阵列平面轴上采用矩形加权，将辐射出一个 sinc 形状的空间方向图。

对于这些情况，sinc 函数的旁瓣是一个问题，第一个旁瓣仅为 –13 dBc。图 1 说明了这一原理。

图 1. 时间域中的矩形脉冲在频域中产生 sinc 函数，第一个旁瓣仅为 –13 dBc。

加权（Tapering 或 Weighting）

解决旁瓣问题的方法是在矩形脉冲上施加加权。这在快速傅里叶变换（FFT）中是常见操作，相控阵中的加权选项与 FFT 中的加窗完全类似。

加权的不利之处在于，虽然旁瓣被抑制了，但主瓣也会因此变宽。图 2 展示了一些典型的加权函数示例。

图 2. 加权函数示例。

波形与天线的类比

时间到频率的变换对大多数电子工程师来说是非常直观的。但对于首次接触相控阵的工程师，如何将该类比应用于天线方向图可能并不明显。

为此，我们将时间域信号替换为阵列孔径上的场分布，频域输出则替换为空间域方向图：

• 时间域 → 场域（Field Domain）
  • v(t)v(t)：时间函数上的电压
  • E(x)E(x)：孔径位置上的场强
• 频率域 → 空间域（Spatial Domain）
  • Y(f)Y(f)：频率函数上的功率谱密度
  • G(q)G(q)：角度函数上的天线增益

图 3 说明了这一原理。我们比较了对阵列施加两种不同加权情况下的辐射能量：

图 3a 和图 3c 表示场域，其中每个点代表一个 N = 16 阵列中阵元的振幅。在天线外部不再有辐射能量，辐射从天线边缘开始。在图 3a 中，场值在边缘突然变化，而在图 3c 中，场值是从边缘向中心逐渐上升的。

对应的辐射能量效果分别显示在图 3b 和图 3d 中。

图 3. 元素加权在场域和辐射空间中的转换关系图；
(a) 所有阵元采用均匀加权；
(b) 空间方向图呈 sinc 形状；
(c) 阵元采用 Hamming 加权；
(d) 旁瓣被抑制至 –40 dBc，代价是主瓣变宽。

在接下来的章节中，我们将引入两个会影响天线方向图性能的附加误差项：

第一个是互耦误差（Mutual Coupling）。在本文中我们仅对该问题予以承认，并指出需借助大量电磁仿真来定量评估其影响。

第二个是由于相位移控制位数有限所导致的量化旁瓣（Quantization Sidelobes）。我们将对量化误差进行更深入的分析，并对量化旁瓣进行量化评估。

互耦误差（Mutual Coupling Errors）

本文中的所有公式和阵列因子图都假设天线单元是理想的，即每个阵元彼此相同，且具有相同的辐射方向图。但在实际中，并非如此。

造成这种差异的原因之一是阵元之间的互耦，即相邻阵元之间的电磁耦合。当阵元之间间距较大或较小时，其辐射性能可能会有显著变化。阵列边缘的阵元所处的电磁环境与阵列中心的阵元也不相同。

此外，随着波束扫描角度的变化，阵元之间的互耦关系也会发生变化。这些效应都会引入附加误差项，天线设计人员必须将其考虑在内。实际上，设计过程中需投入大量精力借助电磁仿真工具来评估这些条件下的辐射性能变化。

波束角分辨率与量化旁瓣

另一种常见的相控阵天线性能缺陷源于用于波束指向的时间延迟单元或相移器的有限分辨率。这类设备通常通过数字控制，以离散的时间（或相位）步长进行调节。但我们该如何确定所需的分辨率或位数，以满足波束质量的设计目标呢？

与常见的误解相反，波束角分辨率并不等同于相移器的分辨率。在公式（1）（即第二部分中的公式（2））中，我们看到如下关系：

我们可以将该公式中的阵元间距 d 替换为阵列总宽度 D，以表示整个阵列的相位偏移。再将相移器的最小相位单位 ΦLSB 代入 ∆Φ，可近似表示波束角分辨率。对于一个具有 N 个阵元且阵元间距为半波长的线性阵列，其波束角分辨率如 公式（2）所示。

这是波束偏离波束零向（boresight）时的分辨率，表示在阵列一半设置为 0 相移、另一半设置为相移器最小位（LSB）时的波束角度。当施加 LSB 的阵元少于阵列的一半时，还可实现更小的角度。

图 4 展示了一个由 30 个阵元组成的阵列使用 2 位相移器时的波束角度变化过程，即从左到右逐步将 LSB 相位施加到阵列各阵元上。可以看到，波束角度在施加至一半阵元时达到最大，然后当所有阵元都处于 LSB 状态时恢复为零。这是因为波束方向依赖于阵列两端的相位差。注意该特性峰值对应的是先前计算的θ_RES。

图 4. 波束角度与施加 LSB 的阵元数量关系图（30 元线性阵列）

图 5. 波束角分辨率随阵列尺寸变化图（相移器位数为 2 至 8 位）

图 5 绘制了在不同相移器分辨率下，波束角分辨率  θ_RES  随阵列孔径大小（λ/2 阵元间距）变化的关系。图中表明，即使是位数很低的 2 位相移器（90° LSB），在 30 个阵元构成的阵列中也能实现约 1° 的分辨率。根据第一部分中的公式（10），30 元半波长阵列的主瓣宽度约为 3.3°，说明即使采用粗略的相移器，其角分辨率也已足够。

那么，使用更高分辨率的相移器能带来什么优势呢？借用时间采样系统（数据转换器）与空间采样系统（相控阵天线）之间的类比，更高分辨率的数据转换器将产生更低的量化噪声底，同理，更高分辨率的相移器或延迟器将带来更低的量化旁瓣电平（QSLL）。

图 6 显示了前述 2 位、30 元线性阵列中各阵元的相移设置及其误差分布。在该示例中，阵列一半设置为 0 相移，另一半设置为 90° LSB，相移误差呈锯齿状。

图 6. 阵列中各阵元的相移与误差分布

图 7 展示了该天线在指向 0° 和指向波束角分辨率角度 θ_RES 时的天线方向图。可以看到，相移器的量化误差导致图样严重劣化。

图 7. 在最小波束角度下的天线方向图，出现量化旁瓣

最严重的量化旁瓣发生在整个阵列中出现最大量化误差时，即每两个相邻阵元一个为 0 误差，另一个为 LSB/2。此时量化误差最大，且在阵列上呈现最高周期性。图 8 展示了 2 位、30 元阵列在这种最差情况下的方向图。

图 8. 最差情况下的天线量化旁瓣 — 2 位相移器

这种最差情况发生在一些可预测的波束角度，如公式（3）所示：

其中 n < 2^BITS，且 n 为奇数。对于一个 2 位系统，这种情况在 ±14.5° 和 ±48.6° 出现四次。图 9 展示了该系统在 n=1、q=+14.5°情况下的方向图，其中可以观察到 –50° 处出现 –7.5 dB 的量化旁瓣。

图 9. 最差天线量化旁瓣 — 2 位，n = 1，30 阵元

当波束角度不是这些特殊情况（即误差依次为 0 和 LSB/2）时，均方根误差会因在孔径上被分散而减小。事实上，对于公式（3）中 nn 为偶数的情形，量化误差为零。

如果我们绘制不同分辨率下，最强量化旁瓣的相对水平，会出现一些有趣的规律。图 9 显示了 100 元线性阵列在使用 Hamming 加权后的最差量化旁瓣电平（QSLL），该加权可帮助区分量化旁瓣与前文讨论的窗口旁瓣。

需要注意的是，在 30° 角度时，所有量化误差归零，这是由于 sin(30°) = 0.5 的数学结果。对于任何位数的相移器，当其角度为更高分辨率系统的最差角度时，其量化误差为零。从图中可以看出，不同分辨率下最差旁瓣电平的位置，以及每增加 1 位带来的约 6 dB QSLL 改善。

图 10. 最差量化旁瓣电平随波束角变化（2～6 位相移器）

图 11. 最差量化旁瓣电平随相移器分辨率变化

图 11 展示了 2 位到 8 位相移器的最大量化旁瓣电平（QSLL），其遵循数据转换器中的经典量化噪声规律：

即每增加 1 位，旁瓣电平降低约 6 dB。对于 2 位相移器，QSLL 约为 –7.5 dB，高于典型数据转换器对随机信号采样时 +12 dB 的噪声底。这一差异可以理解为：由于量化误差呈周期性锯齿状分布在阵列孔径上，其空间谐波会在某些方向上相位叠加。

注意：QSLL 与阵列孔径大小无关。

结语

我们现在可以总结一些天线工程师在波束宽度与旁瓣方面所面临的挑战：

• 角分辨率需要窄波束。而实现窄波束需要大的孔径，这又需要更多的阵元。此外，当波束偏离波束零向（boresight）进行扫描时，波束会变宽，因此在扫描角度增大时需要额外的阵元以维持波束宽度。
• 可能看起来可以通过增大阵元间距来增大天线整体面积而无需添加额外阵元，这样可以缩窄波束；但不幸的是，如果阵元均匀排列，这将引入栅瓣（grating lobes）。通过减小扫描角度、以及采用 非周期性阵列（aperiodic arrays）来有意随机化阵元布局，可以在增大天线面积的同时尽量减少栅瓣问题。
• 旁瓣是另一个问题，我们已了解到可以通过对阵列边缘阵元增益进行加权（tapering）来缓解。但加权会导致波束变宽，从而又需要更多阵元。相移器的分辨率也会引入量化旁瓣（quantization sidelobes），这些也必须纳入天线设计考量。对于使用相移器实现的天线，**波束斜移（beam squint）**现象还会导致波束方向随频率变化，从而限制了在高角分辨率下可用的带宽。

这篇为期三部分的相控阵天线方向图系列就此结束：

• 第一部分介绍了波束指向、阵列因子和天线增益；
• 第二部分介绍了栅瓣和波束斜移等非理想现象；
• 第三部分讨论了加权（tapering）和量化误差。

本系列并非面向那些精通电磁场和辐射单元设计的天线设计工程师，而是希望为大量在相控阵领域工作的相关学科工程师提供一种直观的解释方式，帮助理解各种因素对天线整体方向图性能的影响。

参考文献：

• Balanis, Constantine A.《Antenna Theory, Analysis and Design》，第三版，Wiley 出版，2005。
• Mailloux, Robert J.《Phased Array Antenna Handbook》，第二版，Artech House 出版，2005。
• O’Donnell, Robert M. “Radar Systems Engineering: Introduction.” IEEE，2012年6月。
• Skolnik, Merrill.《Radar Handbook》，第三版，McGraw Hill 出版，2008。

Part 2: Grating Lobes and Beam Squint

引言

这是我们关于相控阵天线方向图三部分系列文章中的第二篇。在第一部分中，我们介绍了相控阵的波束指向概念，并探讨了影响阵列增益的因素。在第二部分中，我们将讨论栅瓣（Grating Lobes）和波束偏频（Beam Squint）。

栅瓣可能不容易直观理解，因此我们将借用其与数字转换器中信号混叠（aliasing）的相似性，并据此将栅瓣视为一种空间混叠。接着，我们将探讨波束偏频问题。波束偏频是指当我们使用相位移而不是真实时间延迟来实现波束指向时，天线方向图在频率范围内发生的“失焦”现象。

我们还将讨论这两种波束指向方式之间的权衡，并了解波束偏频对典型系统性能的影响。

栅瓣简介

到目前为止，我们只讨论了阵元间距为 d = λ/2 的情况。图 1 开始说明为什么 λ/2 的阵元间距在相控阵中如此常见。

图中展示了两种情况。首先是蓝色曲线，重复了第一部分图 11 中的 30° 波束图。接着，将 d/λ 的间距增加到 0.7，以展示天线方向图的变化。

随着间距的增加，可以看到波束宽度减小，这是一个积极结果。波束零点之间的间距减小，使它们更靠近，这也是可以接受的结果。

但现在在另一个角度（此处为 –70°）出现了一个全阵列增益的次波束，这是一个非常不利的结果。这个天线增益的“副本”被定义为栅瓣（grating lobe），可以视为一种空间混叠（spatial aliasing）。

图 1. 一个 32 阵元线性阵列在两种不同 d/λ 间距下的归一化阵列因子。

与采样系统的类比

为了更直观地理解栅瓣，可以将其类比为采样系统中的混叠现象。在模数转换器（ADC）中，欠采样常用于接收机架构的频率规划中。欠采样是指有意降低采样率 f_S，使得采样过程将高于f_S/2 的频率（即高奈奎斯特带）转换为出现在第一个奈奎斯特带中的混叠信号。这将导致高频信号在 ADC 输出中表现为较低频率的信号。

在相控阵中也存在类似的类比关系，其中天线阵元对波前进行空间采样。如果我们认为每个波长需要两个采样点（即两个阵元）才能避免混叠，那么奈奎斯特采样定理就可以推广到空间域。

因此，如果阵元间距大于 λ/2 ，就可以将这种现象视为空间混叠（spatial aliasing）。

栅瓣出现的位置如何计算

那么，这些空间混叠（即栅瓣）会出现在什么位置呢？在第一部分中，我们展示了跨阵列施加相位移与波束角之间的关系。

反过来，我们也可以将波束角表示为相位移的函数：

arcsin 函数仅在其自变量介于 –1 到 +1 之间时才会产生实数解。超出这个范围，解将不是实数——这在电子表格软件中表现为常见的 “#NUM!” 错误。

还需注意，公式（2）中的相位具有周期性，每隔 2π 重复一次。因此，我们可以将∆Φ 替换为 (m × 2π + ∆Φ) ，从而得到波束指向的扩展表达式：

其中 m=0,±1,±2,…m = 0, ±1, ±2, …

为了避免栅瓣，我们的目标是仅获得一个实数解。在数学上，这可以通过保持以下条件来实现：

如果满足这一条件，那么所有空间镜像项（即 m=±1,±2,m = ±1, ±2, 等）将导致 arcsin 无实数解，我们就可以忽略它们。

但如果无法满足这一条件，从而使某些 m>0 的值导致 arcsin 产生实数解，则会出现多个解：即栅瓣。

图 2. 将 arcsin 函数应用于栅瓣的计算。

当 d > λ 且 θ = 0° 时的栅瓣

让我们通过一些示例来更清楚地说明这一点。首先，考虑机械波束零向的情况，即 θ = 0，因此 ∆Φ = 0。那么，公式（3）可简化为：

根据这个简化公式，如果 λ/d > 1，则只有当 m = 0 时，自变量才会落在 –1 到 +1 的范围内。而此时自变量为 0，arcsin(0) = 0°，即机械波束零向角。这一结果完全符合预期。

此外，对于任意 m ≥ 1，arcsin 的自变量将大于 1，从而无实数解。因此，当 θ = 0 且 d < λ 时，将不会出现栅瓣！

然而，如果 d > λ（即 λ/d < 1），则可能存在多个解，也就可能出现栅瓣。例如，当 λ/d = 0.66（即 d = 1.5λ）时，arcsin 函数将在 m = 0 和 m = ±1 时有实数解。

其中，m = ±1 表示第二个解，即期望信号的空间混叠。因此，我们预期将看到三个主瓣，且幅度大致相等，分别位于：

• arcsin(0 × 0.66)
• arcsin(1 × 0.66)
• arcsin(–1 × 0.66)

换算成角度分别是 0° 和 ±41.3°。

事实上，图 3 中的阵列因子图正好展示了这一结果。

图 3. 阵列因子在波束零向下的分布（d/λ = 1.5，N = 8）

当 λ/2 < d < λ 时的栅瓣

在简化栅瓣公式（公式 5）时，我们选择只关注机械波束零向（∆Φ = 0）的情况。我们已经看到，在机械波束零向，若 d < λ，则不会出现栅瓣。但根据采样理论的类比，我们也知道，只要阵元间距大于 λ/2，就有可能出现某种形式的栅瓣。那么，当 λ/2 < d < λ 时，栅瓣会出现在什么位置？

首先，回忆第一部分图 4 中，相位与波束指向角之间的变化关系。我们看到当主瓣偏离机械波束零向时，∆Φ 的范围为：

∆Φ 从 0 到 ±π

因此，

的范围是：

而对于 |m| ≥ 1，其结果总是大于：

如果我们希望对所有 |m| ≥ 1 的情形下，arcsin 函数的自变量始终大于 1，从而无实数解，则这将限制 λ/d 的最小允许值。

考虑以下两种情况：

• 如果 λ/d ≥ 2（即 d ≤ λ/2），则无论 m 取何值，都不会有多个解。所有 m > 0 的情形都会导致 arcsin 自变量大于 1。这是唯一能避免在可见天区出现栅瓣的方法。
• 但如果我们有意将 ∆Φ 限制在小于 ±π 的范围内，那么即使 λ/d 较小，也仍可能避免栅瓣的出现。缩小 ∆Φ 的范围意味着限制阵列的最大波束扫描角度。这是一个有趣的权衡问题，我们将在下一节中进一步探讨。

阵元间距的考虑

阵元间距是否应始终小于 λ/2？并不一定！这实际上是天线设计人员需要权衡的因素之一。

如果波束需要完全扫描至地平线方向，那么 θ = ±90°，此时若不允许在可见半球内出现栅瓣，则阵元间距必须为 λ/2。但在实际应用中，最大可实现的扫描角总是小于 90°，这是由于单元因子和其他在大扫描角下引起的性能劣化所导致的。

从图 2 中的 arcsin 函数图可以看出，如果 y 轴（即扫描角 θ）被限制在一个较小的范围内，那么栅瓣只会出现在原本不会使用的扫描角度。对于给定的最大阵元间距 d_max ，这个限制的最大扫描角 θ_max 会是多少？我们之前提到过，我们的目标是保持：

我们可以利用这一点来计算栅瓣（m = ±1）首次出现的位置。将该条件代入，并使用第一部分中公式（1）对 ∆Φ 的定义，得到：

简化为：

然后求解 d_max 得到：

该 d_max  是在限制最大扫描角 θ_max 的条件下不出现栅瓣的最大允许阵元间距（其中θ_max <π/2 ）。

例如，若信号频率为 10 GHz，且希望在 ±50° 扫描范围内不出现栅瓣，则最大阵元间距为：

图 4. 当 θ = 50°，N = 32，d = 17 mm，f = 10 GHz 时，在地平线附近开始出现栅瓣。

因此，限制最大扫描角将带来如下自由度：可以增加阵元间距，从而在每通道物理尺寸不变的情况下扩展孔径。例如，对于天线波束始终指向一个较窄预定义方向的应用场景，可以增加单元增益以增强该方向的方向性，同时也可以增加阵元间距以扩大阵列孔径。两者都能在窄波束角内实现更大的整体天线增益。

需注意，即使在零扫描角下，公式（3）也指出最大阵元间距为一个波长，前提是可见半球内不允许出现栅瓣。例如在 GEO 卫星的场景中，整个地球的覆盖角度仅为从机械波束零向偏离 9°。此类情况下，只要栅瓣不落在地球表面上，即可接受其存在。这时，阵元间距甚至可以为多个波长，从而获得更窄的波束宽度。

此外，还有一些值得注意的天线结构试图通过非均匀阵元间距来规避栅瓣问题，这类结构被归类为非周期阵列（aperiodic arrays），例如螺旋阵列（spiral arrays）就是其中一种。出于机械天线结构构建的考虑，可能希望使用可扩展的通用构件模块来构建大规模阵列，但这将形成均匀阵列，从而受到本文所描述的栅瓣条件限制。

波束偏频（Beam Squint）

在第一部分的开头，我们描述了当波前以相对于波束零向的角度 θ 入射到阵列上时，阵元之间会出现时间延迟。对于单一频率的情况，波束指向可以通过将时间延迟替换为相位移来实现。这种方法适用于窄带波形，但对于宽带波形，如果波束指向是通过相位移实现的，那么波束方向将随着频率发生变化。

这可以通过直观方式解释：时间延迟对应于相对于频率的线性相位变化。因此，对于给定的波束方向，所需的相位移会随着频率的变化而改变。或者反过来说，对于一个固定的相位移，波束方向会随着频率而变化。

这种波束方向随频率变化的现象被称为波束偏频（beam squint）。

还需考虑的是，在波束零向（θ = 0）时，阵列中没有任何相位差，因此也就不会产生波束偏频。因此，波束偏频的大小必须是角度 θ与频率变化的函数。

图 5 展示了一个 X 波段的示例。在该示例中，中心频率为 10 GHz，调制带宽为 2 GHz，可以明显看到波束方向随着频率和初始波束角的不同而发生变化。

图 5. X 波段中，32 阵元线性阵列（阵元间距为 λ/2）下的波束偏频示例。

波束偏频是可以直接计算的。使用公式（1）与公式（2），可以计算出 波束偏移方向（即波束偏频）如下：

该公式的图示如图 6 所示。图 6 中使用的是f/f₀  的比值形式，这是有意为之。相较于原公式中的 f₀/f ，使用其倒数可更直观地观察频率相对于中心频率的变化对波束方向的影响。

图 6. 不同频率偏移下，波束偏频随波束角的变化关系。

关于波束偏频，有以下几点观察：

• 波束角偏离波束零向越远，频率变化导致的波束偏移越大；
• 低于中心频率的信号引起的波束偏移比高于中心频率的信号更大；
• 低于中心频率的信号使波束进一步远离波束零向。

波束偏频的考量

波束偏频，即波束指向角随频率的偏移，是由于用相位移近似代替时间延迟所引起的。如果采用真实时间延迟单元来实现波束控制，则不会出现这一问题。

既然波束偏频的问题如此明显，为何还要使用相移器而不是时间延迟单元呢？这通常归结于设计的简便性以及相移器相较于时间延迟单元在集成电路（IC）中更易获得。时间延迟通常以某种形式的传输线实现，而所需的总延迟取决于天线孔径的大小。迄今为止，大多数可用的模拟波束形成芯片基于相位移设计，但也已经出现了部分真实时间延迟（true time delay）芯片系列，未来这些芯片在相控阵实现中可能会更加普遍。

在数字波束形成中，可以通过 DSP 逻辑和数字波束形成算法来实现真实时间延迟。因此，在每个阵元都被数字化的相控阵架构中，自然可以解决波束偏频问题，并提供最灵活的可编程性。然而，这种解决方案在功耗、体积和成本方面可能面临挑战。

在混合波束形成中，先对子阵列进行模拟波束控制，然后对整个阵列进行数字波束控制。这种结构在某种程度上可以天然缓解波束偏频问题。波束偏频仅影响子阵列，而子阵列的波束宽度较宽，因此对波束角偏移更具容忍度。因此，只要子阵列的波束偏频在可接受范围内，就可以采用混合波束形成架构，在子阵中使用相移器，并在后端数字波束形成中使用真实时间延迟。

总结

本文是关于相控阵天线方向图三部分系列的第二部分。在第一部分中，我们介绍了波束指向与阵列因子的基本概念；在第二部分中，我们讲解了栅瓣与波束偏频这两种非理想特性。

在第三部分中，我们将讨论如何通过加权（tapering）来降低旁瓣，并进一步说明相移器量化误差所带来的影响。

参考文献

• Balanis, Constantine A. Antenna Theory: Analysis and Design, 第三版，Wiley-Interscience，2005。
• Longbrake, Matthew. True Time Delay Beamsteering for Radar. 2012 IEEE National Aerospace and Electronics Conference (NAECON)，IEEE，2012。
• Mailloux, Robert J. Phased Array Antenna Handbook, 第二版，Artech House，2005。
• O’Donnell, Robert M. “Radar Systems Engineering: Introduction.” IEEE，2012 年 6 月。
• Skolnik, Merrill. Radar Handbook, 第三版，McGraw Hill，2008。