作者： zhao xudong

Part 2: Grating Lobes and Beam Squint

引言

这是我们关于相控阵天线方向图三部分系列文章中的第二篇。在第一部分中，我们介绍了相控阵的波束指向概念，并探讨了影响阵列增益的因素。在第二部分中，我们将讨论栅瓣（Grating Lobes）和波束偏频（Beam Squint）。

栅瓣可能不容易直观理解，因此我们将借用其与数字转换器中信号混叠（aliasing）的相似性，并据此将栅瓣视为一种空间混叠。接着，我们将探讨波束偏频问题。波束偏频是指当我们使用相位移而不是真实时间延迟来实现波束指向时，天线方向图在频率范围内发生的“失焦”现象。

我们还将讨论这两种波束指向方式之间的权衡，并了解波束偏频对典型系统性能的影响。

栅瓣简介

到目前为止，我们只讨论了阵元间距为 d = λ/2 的情况。图 1 开始说明为什么 λ/2 的阵元间距在相控阵中如此常见。

图中展示了两种情况。首先是蓝色曲线，重复了第一部分图 11 中的 30° 波束图。接着，将 d/λ 的间距增加到 0.7，以展示天线方向图的变化。

随着间距的增加，可以看到波束宽度减小，这是一个积极结果。波束零点之间的间距减小，使它们更靠近，这也是可以接受的结果。

但现在在另一个角度（此处为 –70°）出现了一个全阵列增益的次波束，这是一个非常不利的结果。这个天线增益的“副本”被定义为栅瓣（grating lobe），可以视为一种空间混叠（spatial aliasing）。

图 1. 一个 32 阵元线性阵列在两种不同 d/λ 间距下的归一化阵列因子。

与采样系统的类比

为了更直观地理解栅瓣，可以将其类比为采样系统中的混叠现象。在模数转换器（ADC）中，欠采样常用于接收机架构的频率规划中。欠采样是指有意降低采样率 f_S，使得采样过程将高于f_S/2 的频率（即高奈奎斯特带）转换为出现在第一个奈奎斯特带中的混叠信号。这将导致高频信号在 ADC 输出中表现为较低频率的信号。

在相控阵中也存在类似的类比关系，其中天线阵元对波前进行空间采样。如果我们认为每个波长需要两个采样点（即两个阵元）才能避免混叠，那么奈奎斯特采样定理就可以推广到空间域。

因此，如果阵元间距大于 λ/2 ，就可以将这种现象视为空间混叠（spatial aliasing）。

栅瓣出现的位置如何计算

那么，这些空间混叠（即栅瓣）会出现在什么位置呢？在第一部分中，我们展示了跨阵列施加相位移与波束角之间的关系。

反过来，我们也可以将波束角表示为相位移的函数：

arcsin 函数仅在其自变量介于 –1 到 +1 之间时才会产生实数解。超出这个范围，解将不是实数——这在电子表格软件中表现为常见的 “#NUM!” 错误。

还需注意，公式（2）中的相位具有周期性，每隔 2π 重复一次。因此，我们可以将∆Φ 替换为 (m × 2π + ∆Φ) ，从而得到波束指向的扩展表达式：

其中 m=0,±1,±2,…m = 0, ±1, ±2, …

为了避免栅瓣，我们的目标是仅获得一个实数解。在数学上，这可以通过保持以下条件来实现：

如果满足这一条件，那么所有空间镜像项（即 m=±1,±2,m = ±1, ±2, 等）将导致 arcsin 无实数解，我们就可以忽略它们。

但如果无法满足这一条件，从而使某些 m>0 的值导致 arcsin 产生实数解，则会出现多个解：即栅瓣。

图 2. 将 arcsin 函数应用于栅瓣的计算。

当 d > λ 且 θ = 0° 时的栅瓣

让我们通过一些示例来更清楚地说明这一点。首先，考虑机械波束零向的情况，即 θ = 0，因此 ∆Φ = 0。那么，公式（3）可简化为：

根据这个简化公式，如果 λ/d > 1，则只有当 m = 0 时，自变量才会落在 –1 到 +1 的范围内。而此时自变量为 0，arcsin(0) = 0°，即机械波束零向角。这一结果完全符合预期。

此外，对于任意 m ≥ 1，arcsin 的自变量将大于 1，从而无实数解。因此，当 θ = 0 且 d < λ 时，将不会出现栅瓣！

然而，如果 d > λ（即 λ/d < 1），则可能存在多个解，也就可能出现栅瓣。例如，当 λ/d = 0.66（即 d = 1.5λ）时，arcsin 函数将在 m = 0 和 m = ±1 时有实数解。

其中，m = ±1 表示第二个解，即期望信号的空间混叠。因此，我们预期将看到三个主瓣，且幅度大致相等，分别位于：

• arcsin(0 × 0.66)
• arcsin(1 × 0.66)
• arcsin(–1 × 0.66)

换算成角度分别是 0° 和 ±41.3°。

事实上，图 3 中的阵列因子图正好展示了这一结果。

图 3. 阵列因子在波束零向下的分布（d/λ = 1.5，N = 8）

当 λ/2 < d < λ 时的栅瓣

在简化栅瓣公式（公式 5）时，我们选择只关注机械波束零向（∆Φ = 0）的情况。我们已经看到，在机械波束零向，若 d < λ，则不会出现栅瓣。但根据采样理论的类比，我们也知道，只要阵元间距大于 λ/2，就有可能出现某种形式的栅瓣。那么，当 λ/2 < d < λ 时，栅瓣会出现在什么位置？

首先，回忆第一部分图 4 中，相位与波束指向角之间的变化关系。我们看到当主瓣偏离机械波束零向时，∆Φ 的范围为：

∆Φ 从 0 到 ±π

因此，

的范围是：

而对于 |m| ≥ 1，其结果总是大于：

如果我们希望对所有 |m| ≥ 1 的情形下，arcsin 函数的自变量始终大于 1，从而无实数解，则这将限制 λ/d 的最小允许值。

考虑以下两种情况：

• 如果 λ/d ≥ 2（即 d ≤ λ/2），则无论 m 取何值，都不会有多个解。所有 m > 0 的情形都会导致 arcsin 自变量大于 1。这是唯一能避免在可见天区出现栅瓣的方法。
• 但如果我们有意将 ∆Φ 限制在小于 ±π 的范围内，那么即使 λ/d 较小，也仍可能避免栅瓣的出现。缩小 ∆Φ 的范围意味着限制阵列的最大波束扫描角度。这是一个有趣的权衡问题，我们将在下一节中进一步探讨。

阵元间距的考虑

阵元间距是否应始终小于 λ/2？并不一定！这实际上是天线设计人员需要权衡的因素之一。

如果波束需要完全扫描至地平线方向，那么 θ = ±90°，此时若不允许在可见半球内出现栅瓣，则阵元间距必须为 λ/2。但在实际应用中，最大可实现的扫描角总是小于 90°，这是由于单元因子和其他在大扫描角下引起的性能劣化所导致的。

从图 2 中的 arcsin 函数图可以看出，如果 y 轴（即扫描角 θ）被限制在一个较小的范围内，那么栅瓣只会出现在原本不会使用的扫描角度。对于给定的最大阵元间距 d_max ，这个限制的最大扫描角 θ_max 会是多少？我们之前提到过，我们的目标是保持：

我们可以利用这一点来计算栅瓣（m = ±1）首次出现的位置。将该条件代入，并使用第一部分中公式（1）对 ∆Φ 的定义，得到：

简化为：

然后求解 d_max 得到：

该 d_max  是在限制最大扫描角 θ_max 的条件下不出现栅瓣的最大允许阵元间距（其中θ_max <π/2 ）。

例如，若信号频率为 10 GHz，且希望在 ±50° 扫描范围内不出现栅瓣，则最大阵元间距为：

图 4. 当 θ = 50°，N = 32，d = 17 mm，f = 10 GHz 时，在地平线附近开始出现栅瓣。

因此，限制最大扫描角将带来如下自由度：可以增加阵元间距，从而在每通道物理尺寸不变的情况下扩展孔径。例如，对于天线波束始终指向一个较窄预定义方向的应用场景，可以增加单元增益以增强该方向的方向性，同时也可以增加阵元间距以扩大阵列孔径。两者都能在窄波束角内实现更大的整体天线增益。

需注意，即使在零扫描角下，公式（3）也指出最大阵元间距为一个波长，前提是可见半球内不允许出现栅瓣。例如在 GEO 卫星的场景中，整个地球的覆盖角度仅为从机械波束零向偏离 9°。此类情况下，只要栅瓣不落在地球表面上，即可接受其存在。这时，阵元间距甚至可以为多个波长，从而获得更窄的波束宽度。

此外，还有一些值得注意的天线结构试图通过非均匀阵元间距来规避栅瓣问题，这类结构被归类为非周期阵列（aperiodic arrays），例如螺旋阵列（spiral arrays）就是其中一种。出于机械天线结构构建的考虑，可能希望使用可扩展的通用构件模块来构建大规模阵列，但这将形成均匀阵列，从而受到本文所描述的栅瓣条件限制。

波束偏频（Beam Squint）

在第一部分的开头，我们描述了当波前以相对于波束零向的角度 θ 入射到阵列上时，阵元之间会出现时间延迟。对于单一频率的情况，波束指向可以通过将时间延迟替换为相位移来实现。这种方法适用于窄带波形，但对于宽带波形，如果波束指向是通过相位移实现的，那么波束方向将随着频率发生变化。

这可以通过直观方式解释：时间延迟对应于相对于频率的线性相位变化。因此，对于给定的波束方向，所需的相位移会随着频率的变化而改变。或者反过来说，对于一个固定的相位移，波束方向会随着频率而变化。

这种波束方向随频率变化的现象被称为波束偏频（beam squint）。

还需考虑的是，在波束零向（θ = 0）时，阵列中没有任何相位差，因此也就不会产生波束偏频。因此，波束偏频的大小必须是角度 θ与频率变化的函数。

图 5 展示了一个 X 波段的示例。在该示例中，中心频率为 10 GHz，调制带宽为 2 GHz，可以明显看到波束方向随着频率和初始波束角的不同而发生变化。

图 5. X 波段中，32 阵元线性阵列（阵元间距为 λ/2）下的波束偏频示例。

波束偏频是可以直接计算的。使用公式（1）与公式（2），可以计算出 波束偏移方向（即波束偏频）如下：

该公式的图示如图 6 所示。图 6 中使用的是f/f₀  的比值形式，这是有意为之。相较于原公式中的 f₀/f ，使用其倒数可更直观地观察频率相对于中心频率的变化对波束方向的影响。

图 6. 不同频率偏移下，波束偏频随波束角的变化关系。

关于波束偏频，有以下几点观察：

• 波束角偏离波束零向越远，频率变化导致的波束偏移越大；
• 低于中心频率的信号引起的波束偏移比高于中心频率的信号更大；
• 低于中心频率的信号使波束进一步远离波束零向。

波束偏频的考量

波束偏频，即波束指向角随频率的偏移，是由于用相位移近似代替时间延迟所引起的。如果采用真实时间延迟单元来实现波束控制，则不会出现这一问题。

既然波束偏频的问题如此明显，为何还要使用相移器而不是时间延迟单元呢？这通常归结于设计的简便性以及相移器相较于时间延迟单元在集成电路（IC）中更易获得。时间延迟通常以某种形式的传输线实现，而所需的总延迟取决于天线孔径的大小。迄今为止，大多数可用的模拟波束形成芯片基于相位移设计，但也已经出现了部分真实时间延迟（true time delay）芯片系列，未来这些芯片在相控阵实现中可能会更加普遍。

在数字波束形成中，可以通过 DSP 逻辑和数字波束形成算法来实现真实时间延迟。因此，在每个阵元都被数字化的相控阵架构中，自然可以解决波束偏频问题，并提供最灵活的可编程性。然而，这种解决方案在功耗、体积和成本方面可能面临挑战。

在混合波束形成中，先对子阵列进行模拟波束控制，然后对整个阵列进行数字波束控制。这种结构在某种程度上可以天然缓解波束偏频问题。波束偏频仅影响子阵列，而子阵列的波束宽度较宽，因此对波束角偏移更具容忍度。因此，只要子阵列的波束偏频在可接受范围内，就可以采用混合波束形成架构，在子阵中使用相移器，并在后端数字波束形成中使用真实时间延迟。

总结

本文是关于相控阵天线方向图三部分系列的第二部分。在第一部分中，我们介绍了波束指向与阵列因子的基本概念；在第二部分中，我们讲解了栅瓣与波束偏频这两种非理想特性。

在第三部分中，我们将讨论如何通过加权（tapering）来降低旁瓣，并进一步说明相移器量化误差所带来的影响。

参考文献

• Balanis, Constantine A. Antenna Theory: Analysis and Design, 第三版，Wiley-Interscience，2005。
• Longbrake, Matthew. True Time Delay Beamsteering for Radar. 2012 IEEE National Aerospace and Electronics Conference (NAECON)，IEEE，2012。
• Mailloux, Robert J. Phased Array Antenna Handbook, 第二版，Artech House，2005。
• O’Donnell, Robert M. “Radar Systems Engineering: Introduction.” IEEE，2012 年 6 月。
• Skolnik, Merrill. Radar Handbook, 第三版，McGraw Hill，2008。

引言

随着数字相控阵技术在商用、航空航天及国防等领域的广泛应用，许多工程师正在参与其不同子系统的设计工作，但对相控阵天线的理解却相对有限。尽管相控阵天线的设计理论已经经过数十年的充分发展，但现有的大部分文献主要面向精通电磁数学的天线工程师。如今，随着相控阵系统中混合信号与数字模块比例的不断提升，越来越多的工程师亟需一种更直观的方式来理解相控阵天线的波束图样。

事实上，相控阵天线的行为与混合信号和数字工程师日常处理的离散时间采样系统之间存在诸多类比关系。这一系列文章并非旨在将读者培养成天线设计专家，而是为了帮助那些负责相控阵系统中某个子系统或组件的工程师，建立其工作对整体天线波束图样影响的可视化理解。

波束方向控制

首先，我们来看一个关于相控阵波束指向的直观示例。图 1 展示了一个简单的情形：一列四个天线单元从两个不同方向接收到入射波前。在接收路径中，每个天线单元之后均施加了一个固定时间延迟，然后将四路信号相加。

在图 1a 中，所施加的延迟恰好补偿了波前到达各个天线单元的时间差。因此，这种延迟使得四个信号在合并点处相位对齐，形成相干叠加，从而在合成器输出端得到较强的信号。

而在图 1b 中，同样的时间延迟被应用于另一种情形——此时波前垂直入射至天线阵列。由于延迟与波前几何不再匹配，导致四个信号在合并时相位错位，最终合成器输出信号幅度显著减弱。

图 1. 波束指向角的理解

注：本图用于说明如何通过时间延迟控制实现相控阵波束在空间中的指向。通过匹配或错配波前到达各天线单元的时间差，可以控制输出信号的相干叠加或相位抵消，从而实现对波束方向的精确操控。

在相控阵系统中，“时间延迟”是实现波束指向控制时的可量化参数。然而，在实际应用中，这种时间延迟常常通过“相位移”来模拟，这是目前许多实现方案中更常见也更实用的方法。关于时间延迟与相位移之间的影响差异，我们将在后续关于“波束偏频（Beam Squint）”的章节中详细探讨。但在此之前，我们先来看一个基于相位移的波束控制实现，并推导其相应的波束指向计算公式。

图 2 展示了采用相移器（而非时间延迟）的相控阵系统结构。需要特别说明的是，我们将波束零向（boresight）方向（θ = 0º）定义为垂直于天线阵列平面的方向。正角度 θ 表示波束向右偏离波束零向，负角度则表示向左偏离。

图 2. 使用射频相移器的相控阵原理示意图

注：本图展示了通过射频相移器实现波束控制的典型结构。各天线单元前加入可调相位器，通过调整相位差，实现对阵列波束方向的电子扫描（波束赋形）。这种实现方式在实际系统中比精确的时间延迟更具工程可行性，尤其适用于窄带或准窄带系统。

为了直观理解实现波束指向所需的相位移，可以如图 3 所示，在相邻的天线单元之间构造一组直角三角形。其中，ΔΦ 表示相邻天线单元之间所施加的相位差。

这种几何构造清晰地揭示了阵列结构、波束指向角（θ）与相位差（ΔΦ）之间的关系，为后续推导阵列因子和波束控制公式提供了直观基础。

图 3. 相位移 ΔΦ 与波束指向角的关系推导

本图通过几何构造展示了相控阵波束扫描过程中，相邻天线单元之间的相位差 ΔΦ 如何随着波束扫描角度 θ 变化而变化。该推导是实现电子波束控制（电子扫描）中相移量设计的基础，对阵列因子的精确计算具有重要意义。

图 3a 展示了相邻天线单元之间的几何三角关系，其中每个单元之间的间距为 ddd。当前波束偏离波束零向（boresight）指向一个角度 θ，而该角度与地平线之间的夹角为 φ。

在图 3b 中可以看到，角度之间满足以下关系：

θ + φ = 90°

这使我们能够计算波传播路径的差值L ，其表达式为：

L = d × sin(θ)

波束偏转所需的时间延迟，等于波前穿越这段距离L 所需的时间。如果我们将L 看作波长的一个比例关系，那么完全可以用相位延迟来替代这一时间延迟。

因此，相位差 ΔΦ 相对于波束偏转角 θ 的数学表达式可由图 3c 导出，并在公式（1）中给出。

如果天线单元之间的间距正好为信号波长的一半，则该公式可进一步简化为：

让我们用这些公式来计算一个示例。假设两个天线单元之间的间距为 15 毫米，若一个 10.6 GHz 的波前以相对于机械波束零向 30º 的角度入射，那么这两个天线单元之间的最佳相位差是多少？

• θ = 30º = 0.52 rad
• λ = c/f = (3 × 10⁸ m/s)/10.6 GHz = 0.0283 m
• ∆Φ = (2π × d × sinθ)/λ = 2π × 0.015 × sin(0.52)/0.0283 m = 1.67 rad = 95º

因此，如果波前的入射角为 θ = 30º，那么只需将相邻天线单元的相位偏移 95º，即可使两个单元的信号实现相干叠加，从而在该方向上最大化天线增益。

为了更好地理解相位偏移如何随波束指向角（θ）变化，这些公式在图 4 中针对不同条件进行了绘图。从这些图中可以得出一些有趣的观察结论。

当阵元间距为 d = λ/2 时，在波束零向附近，相位偏移与波束方向之间的斜率约为 3:1，这正对应于公式（2）中的 π 系数。在这种情况下，相邻阵元之间的 180° 相位差理论上可以实现 90° 的波束方向偏转。尽管在实际中由于天线单元方向图的影响无法完全达到这一理想效果，但这些公式展示了理论上的最佳状态。

需要注意的是，当 d > λ/2 时，无论相位偏移量是多少，都无法实现完整的波束方向扫描。后文我们将看到，这种情况会导致天线方向图中出现栅瓣（grating lobes），而图中所示曲线正是这种异常情况的初步迹象。

图 4. 不同 d/λ 情况下，相邻阵元之间的相位差 ΔΦ 与波束指向角 θ 的关系

本图比较了三种阵元间距（d/λ）设置下，所需相位差 ΔΦ 随波束扫描角度 θ 的变化情况，用以分析波束控制能力与可能出现的副瓣现象（如栅瓣）。

均匀间距的线性阵列

前文推导的公式仅适用于两个天线单元的情况，然而实际的相控阵天线往往包含成千上万个单元，分布在二维平面上。但在本节中，我们仅考虑一维情形，即线性阵列。

线性阵列指的是在一个方向上由多个天线单元组成的阵列，其在垂直方向上只有一个单元宽度，总共包含 N 个阵元。虽然阵元间距可以变化，但在大多数应用中通常采用均匀间距。因此，本文设定相邻单元之间的间距为统一的常数 d（如图 5 所示）。

尽管这是对实际阵列结构的简化建模，但这种均匀间距线性阵列为我们理解在不同条件下天线方向图的形成机制提供了基础。我们还可以将这些线性阵列的基本原理进一步推广，用于分析和理解二维阵列结构。

图 5. 均匀间距的线性阵列（N = 4）

注：本图展示了一个由 4 个天线单元组成的线性阵列，其中所有单元之间的间距均为常数 d。这是分析阵列因子和波束形成特性的基本结构模型。

近场与远场

近场与远场

那么，如何将前面针对 N=2线性阵列所推导的公式，扩展应用到一个包含 N=10, ⁣000 个天线单元的线性阵列上呢？此时的挑战在于：对于这样一个大规模阵列，如图 6 所示，每个天线单元指向波前的角度都会略有不同，因为波前不再是平面波，而更接近球面波。

在这种情况下，我们就需要区分近场（Near Field）与远场（Far Field）。在远场条件下，波前可以被视为平面波，阵列中所有单元的入射角一致，因此前述相位推导仍然成立。而在近场中，波前具有曲率，不同单元接收到信号的方向和路径长度均不相同，这使得远场简化模型失效。

图 6 展示了一个典型场景，其中大规模阵列面对的是一个球面波前，反映出波束指向计算在近场条件下的复杂性。

图 6. 位于线性阵列近旁的射频信号源

本图展示了一个射频信号源位于天线线性阵列的近场区域，此时波前呈现球面特性。不同天线单元接收到的信号方向与传播路径长度存在差异，无法简单使用远场平面波假设进行建模与计算。

当射频信号源距离天线较近时，每个阵元接收到的入射角都不相同，这种情况被称为近场（Near Field）。在近场条件下，我们可以逐个计算所有阵元的入射角，有时在天线测试和校准过程中必须这么做，因为测试环境空间有限，无法满足远场条件。

但如果我们假设射频信号源足够远，就会进入 远场（Far Field） 条件，此时所有阵元接收到的波前近似为平面波，对应的情形如图 7 所示。

图 7. 位于线性阵列远处的射频信号源

本图展示了射频信号源处于远场条件下的情况。此时入射波前可近似视为平面波，阵列中所有天线单元接收到的信号方向一致，极大简化了波束形成和相位控制的计算过程。

当射频信号源距离足够远时，球面波前的半径非常大，导致波的传播路径近似为平行线。因此，所有天线单元接收到的波束入射角 θ 是相等的，且每个相邻单元之间的传播路径差可简化为：

L=d×sin(θ)

这大大简化了计算过程，并意味着：只要天线单元间距均匀，我们之前针对两个阵元推导的相位差公式同样适用于包含数千个阵元的大规模线性阵列。

但我们究竟何时可以采用远场假设？也就是说，“远”到底有多远？这个问题在某种程度上具有主观性，但通常情况下，远场条件被认为满足以下关系：

其中，D 表示天线阵列的孔径直径，对于均匀线性阵列而言可表示为：

D=(N−1)×d

其中：N：阵列中天线单元的数量；d：相邻单元之间的间距。

对于小尺寸阵列（即 D 较小）或低频信号（即波长 λ 较大），远场距离 R 也相对较小，远场假设容易满足。然而，对于大规模阵列（D 很大）或高频系统（λ 很小），满足远场条件的距离可能达到数公里之遥！

这会给天线的测试与校准带来极大困难。在这种情况下，通常需要使用更精确的近场模型进行建模与测量，并进一步将近场测试结果外推到远场使用场景中，以实现真实应用条件下的阵列性能验证。

天线增益、方向性与孔径

在深入讨论之前，我们有必要先对天线增益、方向性和孔径进行定义。首先澄清一下“增益（Gain）”与“方向性（Directivity）”的区别，因为这两个术语经常被混用。

天线增益和方向性都是相对于各向同性天线而言的比较——各向同性天线是一种理想天线，它在所有方向上均匀辐射。

方向性是指天线在某一特定方向上测得的最大发电功率 P_max ，与在所有方向上平均辐射功率P_av的比值。当没有指定方向时，方向性可通过公式（4）计算得出。

方向性是一个非常有用的指标，用于比较不同天线的性能，因为它定义了天线聚焦辐射能量的能力。增益则具有与方向性相同的方向图特性，但增益还包含了天线的损耗因素。

P_rad 是天线辐射的总功率，P_in 是输入到天线的功率，k 用于表示天线辐射过程中的损耗因子。

接下来，我们将考虑天线方向图作为三维方向的函数，以及方向性如何随着波束宽度变化而变化。

图 8. 投影到球面上的区域的三维视图

本图展示了天线方向图在三维球坐标中的可视化效果，用于表示某一方向上天线辐射能量的分布情况。该投影有助于理解方向性与波束宽度之间的空间关系。

一个球体的总表面积为 4π²，而球面上的面积以 立体角（steradian） 为单位进行定义，一个完整球面包含 4π  个立体角。因此，来自各向同性辐射源的功率密度为：

其单位为 瓦/平方米（W/m²）。

球面上的一个区域由两个角方向共同定义，在雷达系统中，这两个方向通常称为方位角（azimuth）和俯仰角（elevation）。波束宽度可分别表示为两个角度函数：θ₁ 和 θ₂，它们共同构成球面上的一个区域，记作Ω_A。

Ωₐ 是以 立体角（steradian） 为单位的波束宽度，可近似表示为： Ω_A ≈ θ₁ × θ_2.

将 Ω_A视为球面上的一个面积后，方向性（Directivity）可以表示为：

我们要讨论的第三个天线术语是孔径（Aperture）。天线孔径表示接收电磁波的有效面积，并且与波长相关。

各向同性天线的孔径为：

由于增益是相对于各向同性辐射而言的，因此天线的有效孔径可表示为：

将这三个术语综合起来可以看出，增益可以看作是角度的函数，用于定义天线的辐射方向图，并考虑了天线的效率（或损耗）因素。

线性阵列的阵列因子（Array Factor）

此时，我们已经能够预测阵列各单元之间的最优时间延迟或相位差，以实现最大的天线方向性。但我们更希望能够理解并控制整个天线的增益方向图。这涉及两个主要部分：

首先是每个阵列单元本身的增益，称为单元因子（G_E）；
其次是我们通过波束赋形对阵列施加的控制，称为阵列因子（G_A）。

完整的阵列天线增益方向图是这两个因子的乘积，如公式（10）所示。

图 9. 单元因子与阵列因子。

单元因子G_E 是阵列中单个天线单元的辐射方向图，由天线结构的几何形状和构造决定，在运行过程中通常不会变化。了解单元因子非常重要，因为它会限制整个阵列的最大增益，尤其是在接近地平线的方向。但由于我们无法在电气上控制它，所以在增益建模中将其视为一个固定的影响因素。本文假设所有单元具有相同的单元因子。

因此，我们的关注点转向阵列因子 G_A。阵列因子是根据阵列的几何结构（对于本文中的均匀线性阵列，指阵元间距 d）以及波束加权（振幅与相位）来计算的。对于均匀线性阵列，阵列因子的推导是比较直接的，但具体细节请参考本文结尾所列文献。

不同文献中，因对线性阵列参数的定义略有差异，阵列因子的表达式可能也略有不同。本文采用与图 2 和图 3 中定义一致的表达方式，以保持公式的一致性。

由于我们主要关注的是增益随角度的变化，因此通常更具指导意义的是绘制归一化后的阵列因子，即将最大增益归一化为 1。归一化后的阵列因子可表示为公式（11）。

我们已将波束指向角 θ₀ 表示为相邻单元间相位差 ΔΦ 的函数，因此也可以将归一化的天线因子表示为公式（12）。

阵列因子的计算通常假设以下条件成立：

• 阵列单元之间间距相等；
• 相邻单元之间具有恒定相位差；
• 所有单元具有相同的激励幅度。

接下来，我们使用上述公式绘制不同阵列规模下的阵列因子图。

图 10. 波束零向下（boresight）线性阵列的归一化阵列因子，元素间距为 d = λ/2，元素数量分别为 8、16 和 32。

图 11. 32 单元线性阵列在多个波束指向角下的归一化阵列因子，元素间距为 d = λ/2。

从这些图中可得出如下观察结论：

• 第一个旁瓣电平约为 –13 dBc，与阵列因子中的 sinc 函数特性有关。旁瓣性能可通过对各阵元施加幅度加权（tapering）进行优化，后续章节将进一步探讨；
• 波束宽度随着阵元数量增加而变窄；
• 当波束扫描远离波束零向时，波束宽度变宽；
• 随着阵元数量增加，方向图中的零点数量也增加。

波束宽度（Beamwidth）

波束宽度是衡量天线角分辨率的重要指标。最常见的定义方式包括：

• 半功率波束宽度（HPBW, Half-Power Beamwidth）：指主瓣峰值下降 3 dB 时，两侧的角度间隔；
• 零点间距（FNBW, First Null-to-Null Beamwidth）：指主瓣两侧第一个零点之间的角度。

为获得 HPBW，如图 12 所示，我们从波束峰值下降 3 dB，并测量两侧的角距离。

图 12. 天线波束宽度定义（线性阵列参数：N = 8，d = λ/2，θ = 30°）

使用归一化后的阵列因子表达式，可通过将公式（3）设为半功率点（即 3 dB 或 1/√ 2）来求解 HPBW。我们设定：

• 波束零向 θ = 0°
• 阵元数 N = 8
• 阵元间距 d = λ/2

解出相位差 ΔΦ ≈ 0.35 rad。代入公式（1），求解对应的角度 θ：

该 θ 值是从波束峰值到 3 dB 点的角度，即 HPBW 的一半。将其乘以 2 即可得到完整的 3 dB 波束宽度，结果为：

HPBW ≈ 12.8°

同样地，若将阵列因子设为 0（即波束第一个零点），可以求得第一个零点间距（FNBW）为：

FNBW ≈ 28.5°（在上述条件下）

对于均匀线性阵列，HPBW 还可通过以下经验公式近似计算：

图 13 绘制了在 λ/2 元件间距条件下，多个元件数的波束宽度与波束角度的关系。

图 13. 波束宽度与波束指向角的关系图（阵元间距为 λ/2，阵元数为 16、32 和 100）

从图中可以得到以下几点工程观察：

• 若要实现 1° 的波束精度，则需要约 100 个阵元。若在方位角与俯仰角两个方向上都需实现 1° 精度，则需约 10,000 个阵元。但需注意，1° 精度仅在波束零向且接近理想条件下成立；若在大范围扫描角下维持 1° 精度，所需阵元数将进一步增加。这为大阵列系统的波束宽度设置了一个实际限制。
• 1000 阵元 是目前行业中较常见的配置。每方向 32 个单元构成总共 1024 个单元的阵列，在波束零向可实现小于 4° 的波束精度。
• 256 阵元 的阵列易于低成本量产，仍可实现小于 10° 的波束指向精度，这对于许多应用场景而言已足够。
• 此外还需注意，在所有这些情况中，当波束扫描至偏离中心 60° 时，波束宽度将增加一倍。这是由于公式中的 cos(θ) 项所致，体现了阵列在非垂直视角下的投影收缩效应——从侧角观察时，阵列的等效截面积变小，从而导致波束变宽。

组合单元因子与阵列因子

前一部分仅考虑了阵列因子。但要得到天线的总增益，还需要引入单元因子。图 14 展示了一个示例。在此示例中，我们采用一个简单的余弦形状作为单元因子，即归一化的单元增益 G_E(θ)。在相控阵分析中，余弦衰减是一种常见的模型，如果考虑一个平坦表面，其可以可视化：在波束垂直方向（broadside）时，可见面积最大；而当角度偏离垂直方向时，可见面积按照余弦函数减少。

阵列因子 G_A(θ) 采用了一个包含 16 个阵元的线性阵列，阵元间距为 λ/2，辐射方向图为均匀分布。总方向图是单元因子与阵列因子的线性乘积，因此在 dB 标度下可以将两者相加。

图 14. 单元因子与阵列因子结合形成总天线方向图。

当波束偏离波束零向时，有以下几点观察：

• 主瓣幅度按单元因子的速率下降；
• 波束零向上的旁瓣没有幅度衰减；
• 结果是阵列整体的旁瓣性能在偏离波束零向时退化。

天线图：笛卡尔坐标系与极坐标系

到目前为止，所使用的天线方向图都是在笛卡尔坐标系中绘制的。但在实际应用中，常常使用极坐标系绘制天线方向图，因为它们更能直观地表现能量从天线向外辐射的空间分布。图 15 是图 12 的重新绘制版本，但采用了极坐标系。需要注意的是，这些数据完全相同，一一对应——只是使用了极坐标系统重新绘图而已。

能够理解并可视化这两种坐标表示形式是非常有意义的，因为在文献中二者均有使用。在本文的大部分内容中，我们将继续使用笛卡尔坐标系表示方式，因为在该表示下更便于比较波束宽度和旁瓣性能。

图 15. 极坐标下的天线方向性图（N = 8，d = λ/2，θ = 30°）

阵列互易性（Array Reciprocity）

截至目前，所有图示和文本内容均描述的是阵列接收信号的情形。那么，如果是一个发射阵列，情况会有什么不同呢？

幸运的是，大多数天线阵列具有互易性。因此，所有的图示、公式和术语在发射模式下与接收模式是相同的。有时，将波束视为由阵列“接收”更易于理解；而在某些情况下（例如分析栅瓣），你可能会发现将阵列“发射”一个波束的角度更加直观。

在本文中，我们通常将阵列描述为接收信号的模式。但如果你在视觉化上更容易理解发射形式，也完全可以将这些概念转化为发射端的情形来看待。

总结

至此，本系列的第一部分结束。我们介绍了相控阵实现波束指向的基本概念，推导并图示了实现波束控制所需的相位差计算公式。随后定义了阵列因子与单元因子，并分析了阵元数量、阵元间距及波束角度对天线响应的影响。最后，我们展示了笛卡尔坐标系与极坐标系下天线方向图的对比。

接下来的系列文章将进一步探讨相控阵天线方向图及其非理想因素。我们将研究天线加权（tapering）如何降低旁瓣、栅瓣是如何形成的，以及在宽带系统中相移与时间延迟之间的影响差异。系列的最后一部分将分析延迟模块的有限分辨率如何产生量化旁瓣，并降低波束分辨率。

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参考文献

• Balanis, Constantine A. Antenna Theory: Analysis and Design. 第三版，Wiley，2005。
• Mailloux, Robert J. Phased Array Antenna Handbook. 第二版，Artech House，2005。
• O’Donnell, Robert M. “Radar Systems Engineering: Introduction.” IEEE，2012 年 6 月。
• Skolnik, Merrill. Radar Handbook. 第三版，McGraw-Hill，2008。